Přednášky        Zadání teoretických otázek a úkolů       Řešení teoretických otázek a úkolů       Vzorové řešené příklady            Příklady na procvičení

1 

2 

2.1 

2.2 

2.3 

2.4 

2.5 

2.6 

2.7 

 

 

 

2.8       Diferencovatelná funkce

Definice

Nechť , , . Funkci  nazýváme diferencovatelnou v bodu , právě když přírůstek funkce

 lze vyjádřit ve tvaru

,

kde  jsou konstanty a  je funkce spojitá v bodu , , ,

            .

Lineární část  značíme  a nazýváme totálním diferenciálem funkce  v bodu  odpovídajícím přírůstkům nezávisle proměnných , .

 

 

 

 

 

Obdobně pro funkci  proměnných.

Nechť , , . Funkce  je diferencovatelná v bodu , právě když

,

kde  jsou konstanty, ,  je funkce spojitá v bodu , ,

           

 

Lineární část  značíme  a nazýváme totálním diferenciálem funkce  v bodu  odpovídajícím přírůstkům nezávisle proměnných .

 

 

 

 

 

Věta

Je-li funkce  v bodu  diferencovatelná, pak je v bodu  spojitá. Obrácená věta neplatí.

 

 

 

 

 

Věta

Nechť je funkce  v bodu  diferencovatelná. Pak v bodu  existují parciální derivace funkce  a platí

,                 .

 

 

Transpozice věty

Nemá-li funkce v bodu  parciální derivace, pak není v bodu  diferencovatelná.

 

 

 

 

 

Poznámka

Totální diferenciál pro funkci dvou proměnných

.

Přírůstky proměnných můžeme značit , . Pak můžeme psát:

.

 

Příklad

Pro funkci  v bodu  sestavte diferenciál , diferenci  a rozdíl diference a diferenciálu .

 

 

Totální diferenciál pro funkci  proměnných

.

 

 

 

 

 

 

Definice

Nechť  je otevřená množina v . Řekneme, že funkce  je na množině  spojitě diferencovatelná, právě když jsou všechny její parciální derivace  na množině  spojité. Takovou funkci nazýváme funkce třídy  a píšeme .

 

Věta

Každá funkce  spojitě diferencovatelná na otevřené množině  je diferencovatelná v každém bodu .

 

Poznámka

Jelikož , můžeme pro malé přírůstky jednotlivých proměnných nahradit diferenci diferenciálem.

 

 

 

 

 

Příklad

Pomocí diferenciálu přibližně odhadněte hodnotu výrazu . Odhadněte přibližné hodnoty absolutní, relativní a procentuální chyby, kterých se dopouštíme při tomto zjednodušeném odhadu přesné hodnoty zadaného výrazu.

 

 

 

Příklad z praxe

 

 Ve skladovém hospodářství se nachází zásobník paliva ve tvaru válce s rozměry: poloměr , výška . V zimě se vlivem mrazu a tepelné roztažnosti materiálu zmenší poloměr zásobníku o  a výška zásobníku o . Pomocí totálního diferenciálu odhadněte absolutní, relativní a procentuální změnu objemu zásobníku.

 

 

 

 

 

 

 

Příklad z praxe

 

 Pro stanovení deformace nebo mechanického napětí v konkrétním místě kovové konstrukce jsou používány foliové elektrické odporové tenzometry, které se nalepí na konstrukci. Měří se velikost elektrického odporu nalepeného tenzometru, která závisí na změně deformace tenzometru, jež je shodná s deformací proměřované konstrukce v daném místě.

Odpor  drátku tenzometru lze popsat vztahem , kde  je měrný odpor drátku,  je délka drátku,  plocha průřezu drátku. Pomocí diferenciálu  sestavte vztah pro výpočet relativní změny  odporu drátku.

S využitím vztahů pro relativní prodloužení drátku , pro Poissonovu konstantu  materiálu drátku  a pro konstantu deformační citlivosti drátku  odvoďte vztah pro výpočet velikosti relativní deformace  v závislosti na změřené relativní změně  odporu drátku tenzometru, jestliže při změně délky drátku o  se změní jeho odpor o .