Přednášky Zadání teoretických otázek a úkolů Řešení teoretických otázek a úkolů Vzorové řešené příklady Příklady na procvičení

6.1.1 Kritéria konvergence pro řady s kladnými členy

Definice

Říkáme, že řada je majorantou řady , právě když pro všechna přirozená platí

.

Poznámka

Pro řadu s nezápornými členy se předpoklad definice zjednoduší na tvar

Z definice majoranty vyplývá: .

Věta: Srovnávací kritérium (princip porovnávání řad)

Jestliže k řadě s nezápornými členy existuje konvergentní majoranta , pak je řada konvergentní.

Různé zápisy předcházející věty

je konvergentní je konvergentní

je divergentní je divergentní

Příklady

· Pomocí srovnávacího kritéria určete, zda řada je konvergentní nebo divergentní.

· Pomocí srovnávacího kritéria určete, zda řada je konvergentní nebo divergentní.

· Pomocí srovnávacího kritéria určete, zda řada je konvergentní nebo divergentní.

Věta: D’Alembertovo (podílové) kritérium

Jestliže pro řadu s kladnými členy existuje

,

pak pro řada je konvergentní,

pro (včetně ) řada je divergentní,

pro nelze rozhodnout.

Příklad

Pomocí D’Alambertova kritéria určete, zda řada je konvergentní nebo divergentní.

Věta: Cauchyovo (odmocninové) kritérium

Jestliže pro řadu s nezápornými členy platí, že

,

pak pro řada je konvergentní,

pro řada je divergentní,

pro nelze rozhodnout.

Příklad

Pomocí Cauchyova kritéria určete, zda řada je konvergentní nebo divergentní.

Věta: Integrální kritérium

Nechť je řada s kladnými členy, kde , přičemž funkce je spojitá, nerostoucí a nabývá kladných hodnot. Pak řada konverguje nebo diverguje zároveň s nevlastním integrálem

.

Příklady

· Pomocí integrálního kritéria určete, zda řada je konvergentní nebo divergentní.

· Pomocí integrálního kritéria určete, zda řada je konvergentní nebo divergentní.