Přednášky Zadání teoretických otázek a úkolů Řešení teoretických otázek a úkolů Vzorové řešené příklady Příklady na procvičení

4.6 Průběh funkce

Pro sestrojení rovnice tečny ke grafu funkce v bodu používáme vztah

nebo

kde je směrnice přímky,

je úsek, který vytíná přímka na ose . Velikost úseku lze vypočítat ze vztahu .

Při sestrojení rovnice normály využíváme vztah, který platí mezi směrnicí tečny a směrnicí normály : .

Příklad

Určete rovnici tečny a rovnici normály funkce v bodu .

Příklad

Sestavte rovnici tečny ke grafu funkce tak, aby tečna byla rovnoběžná s osou 1. a 3. kvadrantu.

Věta

Jestliže v každém bodu je , pak je funkce v rostoucí.

Jestliže v každém bodu je , pak je funkce v klesající.

Obrácená věta neplatí.

Definice

Právě když existuje takové okolí bodu , že pro libovolný bod tohoto okolí platí

a) ,

říkáme, že funkce je rostoucí v bodu ;

b) ,

říkáme, že funkce je klesající v bodu ;

c) , (případně ),

říkáme, že funkce má v bodu ostré (neostré) lokální maximum;

d) , (případně ),

říkáme, že funkce má v bodu ostré (neostré) lokální minimum.

Lokální extrém je souhrnný název pro lokální maximum a minimum (ostré i neostré).

Věta

Jestliže má funkce v bodu kladnou (zápornou) první derivaci, pak je v tomto bodu funkce rostoucí (klesající).

Funkce je rostoucí (klesající) v intervalu, právě když je rostoucí (klesající) ve všech bodech tohoto intervalu.

Věta: Nutná podmínka extrému

Jestliže má funkce v bodu lokální extrém (i neostrý) a existuje-li , pak je

Stacionární bod je bod, ve kterém je hodnota první derivace rovna nule.

Postačující podmínka existence lokálního minima

Jestliže je nalevo od stacionárního bodu derivace a napravo , přechází funkce z klesání do růstu, a tím se v bodu potvrzuje lokální minimum.

Postačující podmínka existence lokálního maxima

Jestliže je nalevo od stacionárního bodu derivace a napravo , přechází funkce z růstu do klesání, a tím se v bodu potvrzuje lokální maximum.

Absolutní extrém může spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývat v krajních bodech intervalu nebo v největším lokálním maximu, případně nejmenším lokálním minimu.

Příklad

Určete intervaly růstu, intervaly klesání a lokální extrémy funkce .

Příklad

Na uzavřeném intervalu určete absolutní extrémy funkce .

Význam druhé derivace pro průběh funkce

Definice

Předpokládejme, že funkce má na intervalu derivaci . Říkáme, že

• funkce je konvexní na intervalu , právě když je derivace na rostoucí,
• funkce je konkávní na intervalu , právě když je derivace na klesající.

Věta: Postačující podmínka konvexnosti (konkávnosti)

Jestliže na intervalu , pak je funkce na intervalu konvexní.

Jestliže na intervalu , pak je funkce na intervalu konkávní.

Graf konvexní (konkávní) funkce leží v jediné z polorovin určených tečnou v bodu . Kterýkoliv bod grafu leží nad (pod) tečnou v libovolném bodu .

Definice

Nechť funkce má v bodu derivaci . Bod se nazývá inflexní bod funkce , právě když existuje takové okolí bodu , že na jedné straně od je funkce konvexní a na druhé straně konkávní.

Věta: Nutná podmínka inflexe

Je-li inflexní bod funkce a existuje-li , pak je .

Věta: Postačující podmínka existence extrému

Nechť je stacionární bod funkce .

Jestliže , pak má funkce v bodu ostré lokální minimum,

jestliže , pak má funkce v bodu ostré lokální maximum.

Příklad

Najděte lokální extrémy funkce , a to s využitím prvních a druhých derivací.

Asymptoty křivky

Asymptoty bez směrnice (svislá asymptota)

Jestliže funkce má ve vlastním bodu nevlastní limitu , nebo (případně jednostrannou), potom přímka

je asymptota bez směrnice křivky .

Asymptoty se směrnicí

Jestliže v nevlastním bodu (nebo ) existují vlastní limity

, ,

nebo

, ,

pak

je rovnicí asymptoty se směrnicí křivky .

Příklad

Nalezněte asymptoty ke grafu funkce .

Souhrnné vyšetření průběhu funkce

a) Najdeme definiční obor funkce, body nespojitosti, asymptoty, průsečíky s osami, případně rozhodneme o sudosti (lichosti), periodičnosti, ohraničnosti apod.

b) Z vypočtené první derivace zjistíme intervaly monotónnosti a body lokálních extrémů.

c) Z vypočtené druhé derivace zjistíme intervaly konvexnosti, konkávnosti a inflexní body.

Příklad

Proveďte komplexní vyšetření průběhu funkce .

Příklad z praxe

Celkový příjem výrobce je závislý na produkci vyjádřené počtem hotových výrobků podle vztahu .

Vypočítejte optimální počet výrobků, při kterém je celkový příjem výrobce největší a vypočítejte hodnotu maximálního příjmu.

Příklad z praxe

Prodejce nakupuje výrobky za a prodává za při měsíčním obratu . Předpokládá, že při každém snížení prodejní ceny o vzroste měsíční obrat o .

Vypočítejte, při jaké prodejní ceně bude mít prodejce maximální zisk. Jak velký bude maximální měsíční zisk?

Příklad z praxe

Z kartonu ve tvaru čtverce o straně je třeba vyrobit otevřenou krabici tak, že se v rozích odříznou malé čtverce a vzniklé okraje se ohnou nahoru.

Vypočítejte, jak velké čtverce je nutno v rozích odřezat, aby objem vzniklé krabice byl co největší. Jaký je maximální objem krabice?

Příklad z praxe

Prodej výrobků je závislý na reklamní kampani. Předpokládejme, že tuto závislost lze popsat funkcí , kde je počet prodaných výrobků, je čas od začátku reklamní kampaně vyjádřený v týdnech.

Vyšetřete průběh dané funkce, určete definiční obor funkce, intervaly růstu, intervaly klesání, lokální extrémy, inflexní body, intervaly konvexnosti, intervaly konkávnosti a načrtněte graf funkce.