Přednášky Zadání teoretických otázek a úkolů Řešení
teoretických otázek a úkolů Vzorové řešené příklady Příklady na procvičení
Limita funkce v nevlastním bodu .
Definice
Říkáme, že limita funkce je pro
rovna číslu a,
píšeme
, právě když pro každou posloupnost
bodů
s limitou
platí, že
posloupnost odpovídajících funkčních hodnot
má limitu a,
tedy
.
Limita funkce ve vlastním bodu
.
Definice
Říkáme, že funkce má v bodu
limitu rovnou číslu
, píšeme
, právě když pro každou posloupnost
bodů
s limitou
platí, že
posloupnost odpovídajících funkčních hodnot
má limitu
, tedy
.
Symbolicky:
Cauchyova definice limity funkce ve vlastním bodu.
Říkáme, že funkce má v bodu
limitu rovnou číslu
, píšeme
, právě když pro každé
reálné kladné
existuje
reálné kladné takové,
že platí: je-li
z
okolí bodu
, pak absolutní hodnota rozdílu funkční hodnoty
a čísla
je menší než
.
Symbolicky:
Věta: Vztah mezi limitou v bodu a jednostrannými limitami
Věta: O počtu limit funkce v bodu
Funkce má v daném bodu nejvýše jednu limitu.
Věta: O limitě součtu, součinu a podílu funkcí
Jestliže , pak
limita součtu součet
limit
limita součinu součin
limit
limita podílu podíl
limit
pokud ,
na určitém prstencovém
okolí bodu
.
Věta
Věta: O limitě součinu ohraničené funkce a funkce
s nulovou limitou
Jestliže a funkce
je na určitém
prstencovém okolí bodu
ohraničená, pak
Věta: O limitě sevřené funkce
Jestliže na určitém prstencovém okolí bodu platí
, přičemž
, pak existuje limita sevřené funkce a je
Věta: O limitě složené funkce
Jestliže , přičemž
na určitém prstencovém
okolí bodu
,
, pak
Vypočítejte: ;
.
Věta: O
vztahu nevlastní a nulové limity
Limitu kterékoliv elementární funkce v bodu jejího definičního oboru počítáme jako funkční hodnotu v tomto bodu.
Vypočítejte .
;
Po dosazení za platí:
Příklad z praxe
Uvažujme rozpojený
elektrický obvod, který obsahuje v sériovém zapojení nabitý kondenzátor,
rezistor a spínač. Po uzavření obvodu se kondenzátor začne vybíjet přes
rezistor. Časový průběh klesajícího napětí
na kondenzátoru i rezistoru lze popsat rovnicí
,
kde
je výchozí napětí nabitého kondenzátoru,
je čas a
je časová konstanta obvodu, jejíž hodnotu je
možno vypočítat ze vztahu
,
kde
je odpor rezistoru a
je kapacita vybíjeného kondenzátoru.
Pro elektrický obvod s hodnotami: ,
a
vypočítejte hodnotu ustáleného napětí na
kondenzátoru
pro čas
blížící se k nekonečnu. Dále vypočítejte,
za jak dlouho se napětí na kondenzátoru od dříve vypočtené ustálené hodnoty
bude lišit o
,
resp. o
.
S využitím Ohmova zákona sestavte rovnici, která bude popisovat časový
průběh vybíjecího proudu
protékajícího rezistorem.