Přednášky          Zadání teoretických otázek a úkolů         Řešení teoretických otázek a úkolů         Vzorové řešené příklady               Příklady na procvičení

 

definice.gif

 

 

3.3 Limita a spojitost funkce

3.3.1 Limita funkce

 

Limita funkce v nevlastním bodu .

 

Definice                                      

Říkáme, že limita funkce  je pro  rovna číslu a, píšeme , právě když pro každou posloupnost bodů  s limitou  platí, že posloupnost odpovídajících funkčních hodnot  má limitu a, tedy .

 

 

 

 

 

 

 

 

definice.gif

 

 

Symbolicky:

 

definice.gif

 

 

Obsah obrázku text, Vykreslený graf, řada/pruh, snímek obrazovky

Popis byl vytvořen automaticky

 

 

definice.gif

 

 

Limita funkce ve vlastním bodu .

 

Definice

Říkáme, že funkce  má v bodu  limitu rovnou číslu , píšeme , právě když pro každou posloupnost bodů  s limitou  platí, že posloupnost odpovídajících funkčních hodnot  má limitu , tedy .

Symbolicky:

 

 

definice.gif

 

 

Cauchyova definice limity funkce ve vlastním bodu.

Říkáme, že funkce  má v bodu  limitu rovnou číslu , píšeme , právě když pro každé  reálné kladné existuje  reálné kladné takové, že platí: je-li  z  okolí bodu , pak absolutní hodnota rozdílu funkční hodnoty  a čísla  je menší než .

Symbolicky:

 

 

 

 

 

 

 

 

definice.gif

 

 

Obsah obrázku text, řada/pruh, Vykreslený graf, číslo

Popis byl vytvořen automaticky

 

 

definice.gif

 

 

Jednostranné limity

limita zleva        

limita zprava     

 

Věta: Vztah mezi limitou v bodu a jednostrannými limitami

 

 

 

 

 

 

 

 

Věta: O počtu limit funkce v bodu

Funkce má v daném bodu nejvýše jednu limitu.

 

 

definice.gif

 

 

Věta: O limitě součtu, součinu a podílu funkcí

Jestliže , pak

limita součtu                     součet limit

limita součinu                             součin limit

limita podílu                                              podíl limit

pokud ,  na určitém prstencovém okolí bodu .

 

Věta

 

 

 

 

 

 

definice.gif

 

 

Věta

 

definice.gif

 

 

Věta: O limitě součinu ohraničené funkce a funkce s nulovou limitou

Jestliže  a funkce  je na určitém prstencovém okolí bodu  ohraničená, pak

 

definice.gif

 

 

Věta: O limitě sevřené funkce

Jestliže na určitém prstencovém okolí bodu  platí , přičemž , pak existuje limita sevřené funkce a je

 

definice.gif

 

 

Věta: O limitě složené funkce

Jestliže , přičemž  na určitém prstencovém okolí bodu , , pak

 

klic.gif

 

 

Příklady

Vypočítejte: ; .

 

definice.gif

 

 

Věta: O vztahu nevlastní a nulové limity

 

Limitu kterékoliv elementární funkce v bodu jejího definičního oboru počítáme jako funkční hodnotu v tomto bodu.

 

definice.gif

 

 

Věta

 

klic.gif

 

 

Příklad

Vypočítejte .

 

definice.gif

 

 

Věta

;             

Po dosazení za  platí:                     

 

 

 

Příklad z praxe

 

Uvažujme rozpojený elektrický obvod, který obsahuje v sériovém zapojení nabitý kondenzátor, rezistor a spínač. Po uzavření obvodu se kondenzátor začne vybíjet přes rezistor. Časový průběh klesajícího napětí   na kondenzátoru i rezistoru lze popsat rovnicí , kde  je výchozí napětí nabitého kondenzátoru,  je čas a  je časová konstanta obvodu, jejíž hodnotu je možno vypočítat ze vztahu , kde  je odpor rezistoru a  je kapacita vybíjeného kondenzátoru.

Pro elektrický obvod s hodnotami: ,  a  vypočítejte hodnotu ustáleného napětí na kondenzátoru  pro čas  blížící se k nekonečnu. Dále vypočítejte, za jak dlouho se napětí na kondenzátoru od dříve vypočtené ustálené hodnoty bude lišit o , resp. o . S využitím Ohmova zákona sestavte rovnici, která bude popisovat časový průběh vybíjecího proudu  protékajícího rezistorem.