Přednášky        Zadání teoretických otázek a úkolů       Řešení teoretických otázek a úkolů       Vzorové řešené příklady            Příklady na procvičení

1 

2 

3 

3.1 

3.2 

3.2.1 

3.2.2 

3.2.3 

 

 

 

3.2.4       Lineární diferenciální rovnice 1. řádu

Definice

Lineární diferenciální rovnicí 1. řádu nazýváme rovnici

,

v níž ,  jsou funkce definované a spojité pro .

Jestliže , hovoříme o homogenní lineární diferenciální rovnici (nebo také o rovnici bez pravé strany).

Jestliže , pak hovoříme o nehomogenní lineární diferenciální rovnici (s pravou stranou).

 

Homogenní lineární diferenciální rovnici 1. řádu

 

řešíme metodou separace proměnných.

Nehomogenní lineární diferenciální rovnici 1. řádu

 

řešíme metodou variace konstanty.

 

 Řešení metodou variace konstanty

1.     Pravou stranu nehomogenní lineární diferenciální rovnice  položíme rovnu nule.

2.     Získáme tak homogenní lineární diferenciální rovnici , kterou řešíme metodou separace proměnných. Vzniklé obecné řešení  homogenní lineární diferenciální rovnice obsahuje integrační konstantu .

3.     Předpokládejme, že původní nehomogenní lineární diferenciální rovnice má řešení v obdobném tvaru s tím, že konstantu  považujeme za funkci  proměnné .

4.     Nyní je třeba určit funkci .

a.     Vypočítáme první derivaci  obecného řešení . Při derivování nezapomínáme, že  je funkcí proměnné .

b.     Obecné řešení  a jeho derivaci  dosadíme do původní nehomogenní lineární diferenciální rovnice a určíme vztah pro , který obsahuje další konstantu .

5.     Po dosazení  do návrhu obecného řešení (viz bod 3.) získáme výsledné obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice 1. řádu s integrační konstantou .

6.     Máme-li zadánu počáteční podmínku, pak z ní vypočítáme hodnotu konstanty  a určíme tak partikulární řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice.

 

 

 

Příklad

Vypočítejte partikulární řešení diferenciální rovnice  pro počáteční podmínku

 

 

 

Příklad

Vypočítejte partikulární řešení diferenciální rovnice  pro počáteční podmínku

 

 

 

Příklad z praxe

 

 V dokonalé konkurenci nastává rovnováha na trhu v okamžiku, kdy dojde k rovnováze mezi nabídkou a poptávkou. Nabídková funkce  vyjadřuje závislost množství nabízeného zboží na jeho ceně. Poptávková funkce  představuje závislost množství poptávaného zboží na jeho ceně. Pro rovnováhu na trhu pak platí rovnice .

Předpokládejme nabídkovou funkci  a poptávkovou funkci , kde  je cena zboží v  a  je čas ve dnech. Současná cena zboží v času  je . Vypočítejte cenu zboží , při které bude trh v rovnováze.