Přednášky        Zadání teoretických otázek a úkolů       Řešení teoretických otázek a úkolů       Vzorové řešené příklady            Příklady na procvičení

1 

2 

2.1 

2.2 

2.3 

2.4 

2.5 

2.6 

2.7 

2.8 

2.9 

2.10 

2.11 

2.12 

2.13 

 

 

 

2.14   Extrémy funkcí

Definice

Funkce  má v bodu  lokální maximum, právě když existuje okolí bodu  tak, že v něm platí

.

Funkce  má v bodu  lokální minimum, právě když existuje okolí bodu  tak, že v něm platí

.

 

Zkráceně

Funkce  má v bodu  lokální maximum

.

 

Funkce  má v bodu  lokální minimum

.

 

Lokální extrémy

·         lokální maximum

o   pro : ostré lokální maximum            ,

o   pro : neostré lokální maximum,

·         lokální minimum

o   pro : ostré lokální minimum,

o   pro : neostré lokální minimum.

 

 

 

 

 

Věta

Má-li funkce  v bodu  lokální extrém a existují-li , , potom

.

 

Nutná podmínka existence extrému

Existují-li , , potom  pro všechna . Bod  se nazývá stacionární bod funkce.

 

 

 

 

 

Věta. Postačující podmínka existence extrému

Předpokládejme, že v daném bodu , kde  je libovolné okolí bodu , je ,  pro , ale že , přičemž .

·         Je-li  liché číslo, nemá funkce  v bodu  extrém.

·         Je-li  sudé číslo, pak platí:

o   jestliže pro každý bod ,  je  kladný (záporný), má funkce  v bodu  ostré lokální minimum (maximum),

o   jestliže existují body  tak, že , nemá funkce  v bodu  lokální extrém.

 

 

 

 

 

Poznámka

Při hledání extrému funkce dvou proměnných  si nejprve připravíme první derivace, pomocí nichž určíme stacionární bod  (body). Potom vypočítáme druhé derivace, jejich hodnoty v bodu  a vyjádříme totální diferenciál druhého řádu

 

Z hodnot parciálních derivací v bodu  sestavíme determinant, který budeme značit .

.

 

Potom platí následující věta.

 

Věta. Postačující podmínky existence extrému

Nechť  a nechť bod  je jejím stacionárním bodem. Potom funkce  

·         má v bodu  ostré lokální

o   minimum, jestliže  a ,

o   maximum, jestliže  a ,

·         nemá v bodu  extrém, jestliže ,

·         nelze rozhodnout na základě znalosti prvních a druhých derivací, jestliže .

 

 

 

 

Příklad

Najděte lokální extrémy funkce .

 

 

 

Příklad

Najděte lokální extrémy funkce .

 

 

 

Příklad z praxe

 

 Celkový zisk  firmy je dán vztahem , kde  představuje celkové příjmy firmy a  celkové výrobní náklady. Celkové příjmy firmy, která vyrábí  druhů výrobků, jsou dány vztahem , kde  je počet  výrobků a  je prodejní cena  výrobků.

Firma vyrábí dva druhy výrobků. Výrobek  prodává za , výrobek  prodává za . Celkové výrobní náklady  jsou popsány funkcí , kde  je počet výrobků  a  je počet výrobků . Vypočítejte, kolik výrobků druhu  a kolik výrobků druhu  má firma vyrobit, aby maximalizovala svůj zisk. Výši zisku vyčíslete.