Přednášky Zadání teoretických otázek a úkolů Řešení teoretických otázek a úkolů

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5 Lineární prostor, euklidovský prostor

1.5.1 Definice lineárního prostoru

Č.	Otázky	Odpovědi
1.	Co musejí splňovat určité prvky, abychom je mohli považovat za prvky lineárního prostoru?	Musí být definován součet dvou prvků a násobení prvku reálným číslem.
2.	Jak nazveme množinu prvků, pro které je definován součet dvou prvků a násobení prvku reálným číslem?	Danou množinu nazveme lineárním prostorem.
3.	Mohou celá čísla tvořit lineární prostor? Zdůvodněte.	Ano, splňují definici lineárního prostoru, tj. je definován jejich součet a násobení reálným číslem.
4.	Mohou přirozená čísla tvořit lineární prostor? Zdůvodněte.	Ne, neexistuje nulový prvek a nesplňují požadavek na součin prvku s libovolným číslem. Konkrétně po vynásobení prvku záporným číslem nezískáme přirozené číslo.
5.	Mohou polynomy téže proměnné nejvýše 3. stupně tvořit lineární prostor? Zdůvodněte.	Ano, splňují definici lineárního prosotru, tj. je definován jejich součet a násobení reálným číslem.
6.	Mohou polynomy téže proměnné právě 3. stupně tvořit lineární prostor? Zdůvodněte.	Ne, při sčítání dvou polynomů může dojít k redukci jejich stupně. Výsledkem tedy nemusí být polynom opět právě 3. stupně.
7.	Mohou matice typu , jejichž prvky jsou reálná čísla, tvořit lineární prostor? Zdůvodněte.	Ano, splňují definici lineárního prosotru, tj. je definován jejich součet a násobení reálným číslem.
8.	Mohou spojité funkce definované na intervalu tvořit lineární prostor? Zdůvodněte.	Ano, splňují definici lineárního prosotru, tj. je definován jejich součet a násobení reálným číslem.
9.	Mohou geometrické vektory tvořit lineární prostor? Zdůvodněte.	Ano, splňují definici lineárního prostoru, tj. je definován jejich součet a násobení reálným číslem.
10.	Je vektorový prostor lineárním prostorem? Zdůvodněte.	Ano, splňuje definici lineárního prostoru, tj. je definován součet vektorů a násobení vektoru reálným číslem.
11.	Předpokládejme lineární prostor, který tvoří množina libovolných prvků Co platí pro nulový prvek lineárního prostoru?
12.	Kolik nulových prvků existuje v lineárním prostoru?	V každém lineárním prostoru existuje právě jeden nulový prvek.
13.	Předpokládejme lineární prostor, který tvoří množina libovolných prvků Co to je opačný prvek k prvku a co pro něj platí?	Opačný prvek k prvku je , pro který platí
14.	Předpokládejme lineární prostor, který tvoří množina libovolných prvků Co znamená neutrálnost čísla 1?
15.	Kolik opačných prvků lze přiřadit ke každému jednotlivému prvku lineárního prostoru?	Jeden.

Č.	Úkoly	Řešení úkolů
1.	Předpokládejme lineární prostor, který tvoří množina libovolných prvků Dopište komutativní zákon
2.	Předpokládejme lineární prostor, který tvoří množina libovolných prvků Dopište asociativní zákon
3.	Předpokládejme konstanty a lineární prostor, který tvoří množina libovolných prvků Dopište asociativní zákon
4.	Předpokládejme konstanty a lineární prostor, který tvoří množina libovolných prvků Dopište distributivní zákon
5.	Předpokládejme konstantu a lineární prostor, který tvoří množina libovolných prvků Dopište distributivní zákon
6.	Předpokládejme lineární prostor, který tvoří množina libovolných prvků a nulový prvek tohoto prostoru. Dopište vztah
7.	Předpokládejme lineární prostor, který tvoří množina libovolných prvků Dopište vztah
8.	Předpokládejme konstantu a lineární prostor, který tvoří množina libovolných prvků a nulový prvek tohoto prostoru. Dopište vztah
9.	Předpokládejme konstantu a lineární prostor, který tvoří množina libovolných prvků Dopište vztah, podle kterého je definován výpočet rozdílu dvou prvků