Přednášky Zadání teoretických otázek a úkolů Řešení teoretických otázek a úkolů

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5 Lineární prostor, euklidovský prostor

1.5.1 Definice lineárního prostoru

Prvky lineárních prostorů mohou být libovolné matematické, fyzikální, ekonomické a jiné objekty, které splňují následující definici.

Definice

Množina libovolných objektů se nazývá lineární prostor, jestliže

1. každým dvěma prvkům a množiny je přiřazen jediný prvek z této množiny, zvaný součet ,

2. každému prvku a každému reálnému číslu  je přiřazen prvek , nazývaný součin reílného čísla  a prvku ,

3. operace součet a násobení číslem splňují tyto požadavky (axiomy lineárního prostoru):

a) komutativní zákon,

b) asociativní zákon,

c) v množině existuje jediný prvek takový, že pro libovolné

existence nulového prvku,

d) ke každému existuje jediný prvek takový, že

existence opačného prvku,

e) neutrálnost jedničky,

f) asociativní zákon,

g) distributivní zákon,

h) distributivní zákon.

Poznámka

Množina reálných čísel se standardně definovanými operacemi sčítání a násobení je lineárním prostorem. Obdobně množina uspořádaných n-tic reálných čísel je lineárním prostorem s definovaným součtem prvků a a násobení pvku reálným číslem , pro které platí vztahy:

,

.

Věta

V lineárním prostoru existuje jediný nulový prvek a ke každému prvku jediný opačný prvek a platí vztahy:

, , .

Poznámka: rozdíl dvou prvků lineárního prostoru je definován vztahem

.