Přednášky        Zadání teoretických otázek a úkolů       Řešení teoretických otázek a úkolů       Vzorové řešené příklady            Příklady na procvičení

 

 

 

1      

1.1        

1.2        

1.3        

1.4       Řešení soustav lineárních rovnic

 

Příklad

Součet věku otce a syna je 50 roků. Otec je čtyřikrát starší než syn. Vypočítejte věk otce a věk syna.

 

Předpokládejme soustavu  lineárních rovnic o  neznámých , kterou lze zapsat ve tvaru:

 

Matice soustavy je maticí koeficientů při neznámých. Pro  nazýváme soustavu čtvercovou.

 

Sloupcový vektor pravých stran .

 

Rozšířená matice soustavy .

 

Sloupcový vektor neznámých .

 

 

 

Maticový zápis soustavy lineárních rovnic .

 

 

 

 

 

Dvě soustavy rovnic jsou ekvivalentní právě tehdy, když mají stejnou množinu řešení.

 

Z výchozí soustavy lze získat soustavu ekvivalentní těmito ekvivalentními úpravami:

·         záměnou pořadí dvou libovolných rovnic soustavy,

·         vynásobením libovolné rovnice soustavy nenulovou konstantou,

·         vynecháním nebo připojením nulové rovnice, nebo rovnice, která je lineární kombinací ostatních rovnic soustavy,

·         přičtením lineární kombinace ostatních rovnic k dané rovnici soustavy.

Uvedenými úpravami se nezmění hodnost matice soustavy ani hodnost rozšířené matice soustavy.

 

Pro nalezení řešení soustavy lineárních rovnic upravíme rozšířenou matici soustavy na trojúhelníkový tvar pomocí ekvivalentních úprav.

 

 

 

 

 

Frobeniova věta

Soustava  lineárních rovnic o  neznámých je řešitelná právě tehdy, když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti matice rozšířené.

 

Jestliže společná hodnost matice soustavy a matice rozšířené je menší než počet neznámých: , pak má soustava lineárních rovnic  nekonečně mnoho řešení. Hodnota rozdílu  je rovna počtu volitelných neznámých (parametrů) v soustavě. Parametrické neznámé je třeba volit tak, aby sloupcové vektory  koeficientů zbývajících neznámých byly vzájemně lineárně nezávislé.

 

 

 

Je-li vektor pravých stran  nulový, nazýváme soustavu rovnic homogenní, v ostatních případech nehomogenní.

Homogenní soustava rovnic má vždy řešení. Nulový vektor je řešením každé homogenní soustavy rovnic.

 

Čtvercová soustava lineárních rovnic má stejný počet rovnic jako neznámých a má jediné řešení právě tehdy, když je matice soustavy  regulární.

 

Homogenní čtvercová soustava s regulární maticí má jediné tzv. triviální řešení .

 

 

 

 

Příklad

Vypočítejte řešení soustavy lineárních rovnic .

 

 

 

 

Příklad

Vypočítejte řešení soustavy lineárních rovnic o třech neznámých, jestliže po úpravě na trojúhelníkový tvar jsme získali rozšířenou matici soustavy ve tvaru .

 

 

 

 

Příklady

Vypočítejte řešení soustavy lineárních rovnic o třech neznámých, jestliže po úpravě na trojúhelníkový tvar jsme získali rozšířenou matici soustavy ve tvaru .

 

Vypočítejte řešení soustavy lineárních rovnic o třech neznámých, jestliže po úpravě na trojúhelníkový tvar jsme získali rozšířenou matici soustavy ve tvaru .

 

Vypočítejte řešení soustavy lineárních rovnic o třech neznámých, jestliže po úpravě na trojúhelníkový tvar jsme získali rozšířenou matici soustavy ve tvaru .

 

 

 

 

 

Cramerovo pravidlo

Věta

Řešení čtvercové soustavy lineárních rovnic s regulární maticí soustavy  lze určit podle vztahu

 pro ,

 

kde       je tzv. determinant soustavy,

 jsou tzv. determinanty při neznámých, které vzniknou z determinantu soustavy tak, že v něm sloupec koeficientů při neznámé  nahradíme sloupcem pravých stran soustavy.

 

Příklad

Pomocí Cramerova pravidla vypočítejte řešení soustavy lineárních rovnic .

 

 

 

Příklad z praxe

 

 

V současnosti nejpoužívanějším pojivem ve stavebnictví jsou cementy, a to především portlandský cement. Vyrábí se vypalováním směsi surovin za vzniku portlandského slínku, který se následně mele s dalšími přísadami. Základními surovinami jsou vápenec, jíl, křemen a železná ruda. V následující tabulce je uvedeno procentuální zastoupení CaO, SiO₂, Al₂O₃ a Fe₂O₃ v daných surovinách. Jaké procentuální zastoupení uvedených surovin musíme použít, aby výsledný portlandský cement obsahoval 66,0 % CaO, 23,3 % SiO₂, 6,7 % Al₂O₃ a 4,0 % Fe₂O₃?

 

	CaO	SiO2	Al2O3	Fe2O3
vápenec	76	15	5	4
jíl	2	44	51	3
křemen	1	96	1	2
železná ruda	1	12	9	78