Přednášky        Zadání teoretických otázek a úkolů       Řešení teoretických otázek a úkolů

 

 

 

 

6 Nekonečné číselné řady

 

Cíle

Na konci kapitoly bude student umět

·         definovat konvergenci či divergenci nekonečných číselných řad,

·         aplikovat kritéria konvergence,

·         prokázat konvergenci alternujících, mocninných a Taylorových řad,

·         diskutovat absolutní a relativní konvergenci číselných řad.

 

6.1 Číselné řady

Za nekonečnou číselnou řadu považujeme symbol

,

označovaný stručně , kde reálná čísla  se nazývají členy řady, reálné číslo  je obecný člen řady.

 

 

 

 

Posloupnost částečných součtů

     

               

           

              

           

 

Pokud existuje vlastní limita posloupnosti  částečných součtů, tj.

            ,

nazývá se řada  konvergentní a číslu  říkáme součet řady. Pak píšeme

            .

Jestliže posloupnost částečných součtů vlastní limitu nemá (limita je nevlastní nebo neexistuje), nazývá se řada  divergentní.

 

 

Aritmetická řada

                               

                               

                               

 

 

 

Příklad

Předpokládejme aritmetickou řadu, kde , . Vyčíslete první 4 členy této řady.

 

 

 

Geometrická řada

                               

                               

                               

 

 

 

Příklad

Předpokládejme geometrickou řadu, kde , . Vyčíslete první 4 členy této řady.

 

 

 

 

Divergentní harmonická řada       

 

 

 

 

Věta: Nutná podmínka konvergence

            Je-li  konvergentní, pak .

 

Transponovaná nutná podmínka konvergence:

             je divergentní.

 

 

 

 

Příklad

Určete, zda řada  je konvergentní nebo divergentní.

 

 

 

 

Příklad

Určete, zda řada  je konvergentní nebo divergentní.

 

 

 

 

Věta: Asociativní zákon

Je-li řada  konvergentní, pak řada  o členech (tvořených sdružením konečného počtu sousedních členů v původní řadě)

           

           

           

           

           

je rovněž konvergentní a má týž součet.

 

Věta: Distributivní zákon

Je-li řada  konvergentní a , pak je také řada  konvergentní a platí

            .

 

Věta

Jsou-li řady  a  konvergentní, pak je konvergentní řada  a platí

           

 

Věta: O vynechání (přidání) konečného počtu členů

Vytvoříme-li z řady  novou řadu  tím, že v původní řadě vynecháme (nebo do ní přidáme) konečný počet členů, pak jsou obě řady zároveň konvergentní, nebo zároveň divergentní.

 

 

 

 

Příklad z praxe

 

Na účet s úrokovou mírou  (značíme ) je pravidelně ke konci každého měsíce ukládána částka  po dobu  měsíců. Jedná se o krátkodobé spoření polhůtné, kdy jednotkové období je roční a dílčím obdobím je měsíc, takže počet dílčích období je . Velikost úroku  vkladu je pak rovna .

Za předpokladu, že účet není zatížen žádnými dalšími poplatky, vypočítejte velikost připsaných úroků a stav účtu na konci uvedeného období.

 

 

 

 

Příklad z praxe

 

Na účet s úrokovou mírou  (značíme ) je pravidelně ke konci každého roku ukládána částka  po dobu  roků. Jedná se o dlouhodobé spoření polhůtné se složeným polhůtným úročením, kdy jsou počítány úroky také z úroků za předcházející období. Velikost  vkladu na konci uvedeného období je pak rovna .

Za předpokladu, že účet není zatížen žádnými dalšími poplatky, vypočítejte stav účtu na konci uvedeného období a velikost připsaných úroků.