Přednášky          Zadání teoretických otázek a úkolů         Řešení teoretických otázek a úkolů         Vzorové řešené příklady               Příklady na procvičení

 

 

 

5.4.2 Vlastnosti Riemannových integrálů

Věta

Jestliže mají funkce ,  Riemannův integrál na intervalu , pak platí následující vztahy.

                                                                                                   

Linearita                                             ; kde konstanta

                                                              

 

Monotonie                                        ;

                                                               (speciálně pro )

 

Absolutní konvergence

 

 

 

 

 

Aditivnost                             ; ,

 

Odhad integrálu                              :

Záměna mezí                                   

 

 

 

 

Věta: O střední hodnotě integrálního počtu

Má-li funkce  na intervalu  Riemannův integrál, přičemž

: ,

pak existuje takové , zvané střední hodnota funkce  na intervalu , že

               

 

Pro  je ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Věta

Funkce  horní meze ,  definovaná vztahem

 

je spojitá na intervalu , na němž existuje Riemannův integrál funkce .

 

 

 

 

 

 

 

Věta: Newtonova – Leibnizova. Základní věta integrálního počtu.

Je-li funkce  a  je na intervalu  její primitivní funkce, pak Riemannův integrál

               

 

Věta platí i pro případ, kdy funkce  na  má konečný počet bodů nespojitosti prvního druhu.

 

 

 

 

Příklady

·         Vypočítejte

·         Vypočítejte

 

 

 

 

Příklad z praxe

 

Časový průběh usměrněného napětí na výstupu dvoucestného usměrňovače lze popsat rovnicí .

Vypočítejte střední hodnotu  stejnosměrného napětí na výstupu dvoucestného usměrňovače, jestliže na jeho vstup je přiváděno střídavé napětí s maximální hodnotou  a s frekvencí . Načrtněte graf závislosti jak vstupního střídavého, tak i výstupního stejnosměrného napětí usměrňovače na čase . Do grafu s výstupním napětím vyneste vypočtenou střední hodnotu  výstupního napětí.

 

 

 

 

 

 

 

Příklad z praxe

 

Časový průběh usměrněného napětí na výstupu jednocestného usměrňovače lze popsat rovnicí:

Načrtněte graf závislosti jak vstupního střídavého, tak i výstupního stejnosměrného napětí jednocestného usměrňovače na čase , jestliže na jeho vstup je přiváděno střídavé napětí s maximální hodnotou  a s frekvencí . Vypočítejte střední hodnotu  stejnosměrného napětí na výstupu usměrňovače a tuto hodnotu vyneste do grafu s výstupním napětím.

 

 

 

 

Příklad z praxe

 

Efektivní hodnota střídavého proudu/napětí je rovna hodnotě proudu/napětí stejnosměrného, který v daném obvodu vykoná za stejný čas stejnou práci jako proud/napětí střídavý. V elektrickém obvodu s konstantním stejnosměrným proudem/napětím je možno práci  vykonanou za čas  vypočítat ze součinu , kde výkon  je dán součinem napětí  a proudu , tedy  při současné platnosti Ohmova zákona . V elektrickém obvodu se střídavým proudem/napětím je okamžitá hodnota výkonu dána vztahem . Časový průběh střídavého proudu lze popsat rovnicí , kde  je maximální hodnota střídavého proudu.

Vypočítejte efektivní hodnotu střídavého proudu, jestliže maximální hodnota střídavého proudu je . Obdobně vypočítejte efektivní hodnotu střídavého napětí, jestliže maximální hodnota střídavého napětí .