Přednášky Zadání teoretických otázek a úkolů Řešení teoretických otázek a úkolů Vzorové řešené příklady Příklady na procvičení

4.3 Derivace a diferenciál vyššího řádu

Má-li funkce v každém bodu nějakého otevřeného intervalu derivaci , pak je tato derivace opět funkcí a můžeme hledat derivaci funkce , tedy tzv. druhou derivaci, kterou značíme  nebo , pokud je nezávisle proměnná .

Obecně: derivace je první derivace z funkce :

Značíme nebo , chápeme .

Příklad

Vypočítejte derivace do 5. řádu funkce

Derivace součinu dvou funkcí:

(pokud existují derivace ),

Definice

Diferenciálem n. řádu funkce rozumíme diferenciál diferenciálu řádu funkce , tedy

.

Pro diferenciál 2. řádu platí:

Obecně: , kde chápeme .

Derivace řádu: .

Definice

Řekneme, že funkce je na intervalu třídy , píšeme , právě když je derivace na spojitá. Speciálně znamená, že funkce je na intervalu spojitá.

Příklad z praxe

Při harmonickém kmitání hmotného bodu lze výchylku bodu z ustálené polohy popsat rovnicí , kde je amplituda kmitů, je úhlová frekvence, je čas, je fázový posun kmitů.

Zapište vztahy pro výpočet rychlosti a pro výpočet zrychlení pohybu daného hmotného bodu. Jak závisí zrychlení na výchylce ? Jaké je zrychlení v čase, ve kterém je rychlost maximální?