Přednášky Zadání teoretických otázek a úkolů Řešení teoretických otázek a úkolů Vzorové řešené příklady Příklady na procvičení

3.3.2 Spojitost funkce

Definice

Funkce je spojitá v bodu , právě když

Říkáme, že funkce je spojitá v bodu zprava (zleva), právě když

Nespojitost prvního druhu: funkce je nespojitá a existují vlastní jednostranné limity v uvažovaném bodu.

Např. tzv. znaménková funkce (čteme „signum x“)

Nespojitost druhého druhu: funkce je nespojitá a alespoň jedna z jednostranných limit v uvažovaném bodu je nevlastní nebo neexistuje.

Např. rovnoosá hyperbola.

Vlastnosti spojitých funkcí

• Jsou-li funkce , spojité v bodu , pak také funkce , , , , pro jsou v bodu spojité.
• Je-li vnitřní funkce spojitá v bodu a vnější funkce spojitá v bodu , je složená funkce spojitá v bodu .
• Funkce je spojitá v bodu , právě když je v něm spojitá zprava a zleva.
• Je-li prostá funkce spojitá v bodu , pak inverzní funkce je spojitá v bodu .

Definice

Říkáme, že funkce je spojitá na uzavřeném intervalu značíme , právě když

• je spojitá v každém vnitřním bodu ,
• v bodu je spojitá zprava, v bodu je spojitá zleva.

Věta

Jestliže funkce je spojitá na uzavřeném intervalu , pak

• je na uvedeném intervalu ohraničená,
• nabývá na něm své maximální a minimální hodnoty (Weierstrass),
• nabývá na něm všech hodnot mezi minimální a maximální hodnotou,
• pro existuje , že (Bolzano).

Příklad z praxe

Výsledná klasifikace studentů u zkoušek z předmětů Matematika 1 a Matematika 2 na Dopravní fakultě Jana Pernera Univerzity Pardubice závisí na počtu získaných bodů podle následující tabulky.

Sestavte funkci, která bude vyjadřovat závislost výsledné klasifikace na počtu získaných bodů. Načrtněte graf vytvořené funkce. Co můžeme o této funkci říci za hlediska spojitosti či nespojitosti?

Počet bodů
Klasifikace	1	1,5	2	2,5	3	4