Přednášky        Zadání teoretických otázek a úkolů       Řešení teoretických otázek a úkolů       Vzorové řešené příklady             Příklady na procvičení

 

 

 

 

3 Funkce a její limita

 

 

Cíle

Na konci kapitoly bude student umět

·         definovat základní typy funkcí jedné reálné proměnné,

·         vyčíslit definiční obory a obory funkčních hodnot elementárních funkcí a jednoduchých funkcí z nich složených,

·         načrtnout grafy elementárních funkcí,

·         vyčíslit limity funkcí,

·         analyzovat spojitost či nespojitost funkcí.

 

3.1    Funkce jedné reálné proměnné

 

Definice

Mějme neprázdnou podmnožinu  množiny reálných čísel , . Reálnou funkcí jedné reálné proměnné rozumíme zobrazení  množiny  do množiny . Tedy

každému  jediné .

            :      

    definiční obor funkce , množina vzorů

    obor (funkčních) hodnot funkce , množina obrazů

Zápis:         : nezávisle proměnná (argument)

                                               : závisle proměnná

 

 

 

 

 

 

Příklady

Určete definiční obory funkcí:

; ;

 

 

 

 

 

 

 

Dvě funkce považujeme za sobě rovné tehdy a jen tehdy, mají‑li týž definiční obor a přiřazují‑li obě ke každému  z definičního oboru totéž  z oboru hodnot.

 

Grafem funkce  rozumíme množinu všech bodů .

 

 

 

 

 

Funkce  je na množině

rostoucí         

nerostoucí    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

klesající         

neklesající     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Monotónní funkce:              rostoucí, nerostoucí, klesající, neklesající.

Ryze monotónní funkce:     rostoucí, klesající

 

 

 

 

 

Funkce  je shora omezená (ohraničená) číslem k na množině M  .

 

 

 

 

 

Funkce  je zdola omezená (ohraničená) číslem k na množině M  .

 

 

 

 

 

Funkce  je omezená (ohraničená) na množině  .

Omezená funkce  je omezená shora číslem k a zároveň je omezená zdola číslem .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Funkce  je prostá na množině

Funkce  přiřazuje každému  jediné . Je-li funkce  prostá, pak také ke každému  přísluší jediné . Na množině  je definována inverzní funkce  k funkci . Platí: , , .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sestavení inverzní funkce: z funkce  vyjádříme proměnnou  jako funkci proměnné , tj.  a provedeme formální záměnu označení proměnných .

Grafy vzájemně inverzních funkcí  a  jsou vzájemně souměrné podle osy prvého a třetího kvadrantu.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Příklad

 

Sestavte inverzní funkci k funkci .

 

 

 

 

 

 

 

 

Funkce  je sudá na množině  

Graf sudé funkce je souměrný podle osy y.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Funkce  je lichá na množině

Graf liché funkce je souměrný podle počátku souřadného systému.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Funkce  je periodická na množině s periodou

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Funkce  je složená na množině , , přičemž . Kde funkce  je vnější, funkce  je vnitřní.

 

 

 

 

 

 

 

Implicitně zadaná funkce

 

Implicitně zadaná funkce	Explicitně zadané funkce
Elipsa	Horní oblouk elipsy	Dolní oblouk elipsy

 

 

 

Příklad z praxe

 

Stav nabití  autobaterie v závislosti na hustotě  elektrolytu lze přibližně popsat rovnicí .

Vypočítejte stav nabití autobaterie, jestliže hustota elektrolytu . Jaká bude hustota elektrolytu v okamžiku, kdy autobaterie bude plně nabitá?