Přednášky          Zadání teoretických otázek a úkolů Řešení teoretických otázek a úkolů

1.5 Množina reálných čísel

Přirozená čísla

Celá čísla

Racionální čísla , kde ; konečné nebo nekonečné periodické desetinné zlomky

Iracionální čísla                nekonečné neperiodické desetinné zlomky; ,  ,

Reálná čísla ; sjednocení racionálních a iracionálních čísel s definováním binárních operací sčítání, násobení a binární relace <.

Zákony pro operace s reálnými čísly

 platí:                                              ;

Komutativní zákon

Asociativní zákon

Distributivní zákon

Nulový prvek

Jednotkový prvek

Opačný prvek k  je

Inverzní prvek k  je

Existuje řešení rovnice

Pro  existuje řešení rovnice

Nerovnost nelze násobit nulou nebo záporným číslem a neporušit její platnost!

Pojmy „větší“, „menší“ tj. uspořádání na číselné ose

platí:	nebo  nebo
platí:

Absolutní hodnota  reálného čísla:   

Ohraničené (omezené) intervaly s levým krajním bodem , pravým krajním bodem

Uzavřený interval
Otevřený interval
Polouzavřený (polootevřený) interval

Bod  je vnitřním bodem intervalu, jestliže .

Vlastní čísla                 všechna reálná čísla .

Vlastní body                obrazy vlastních čísel na číselné ose.

Nevlastní čísla            symboly  a .

Nevlastní body  a ,

.

Obrazy nevlastních čísel na číselné ose nelze zakreslit.

Neohraničené (neomezené) intervaly

Okolí bodu (čísla) : , značíme  je řešením nerovnice

Prstencové okolí bodu (čísla) :  je řešením nerovnic ,

kde ,  je střed,  je poloměr okolí.

Okolí nevlastního bodu :                        ,               

Okolí nevlastního bodu :                    ,            

Shora ohraničená (omezená) množina :              

 = horní hranice (závora)

Zdola ohraničená (omezená) množina :

 = dolní hranice (závora)

Ohraničená (omezená) množina : je ohraničená shora i zdola

Definice

Číslo  se nazývá supremum množiny  (značíme ), právě když má tyto vlastnosti:

1. pro každé  je ,

2. je-li , existuje takové , že .

Supremum množiny je nejmenší horní mez množiny.

Věta o supremu

Je-li  neprázdná shora ohraničená podmnožina množiny reálných čísel, pak existuje jediné reálné .

Definice

Číslo d se nazývá infimum množiny  (značíme ), právě když má tyto vlastnosti:

1. pro každé  je ;

2. je-li , existuje takové , že .

Infimum množiny je největší dolní mez množiny.

Věta o infimu

Je-li  neprázdná zdola ohraničená podmnožina množiny reálných čísel, potom existuje jediné reálné .