Přednášky        Zadání teoretických otázek a úkolů       Řešení teoretických otázek a úkolů       Vzorové řešené příklady             Příklady na procvičení

 

 

 

 

5 Integrální počet funkcí jedné proměnné

 

 

Cíle

Pro funkce jedné proměnné bude student na konci kapitoly umět

·         vysvětlit pojmy neurčitý a určitý integrál,

·         napsat základní vzorce pro integrování funkcí,

·         aplikovat substituční metodu i metodu per partes pro výpočet neurčitých i určitých integrálů,

·         řešit integrace racionálních lomených funkcí,

·         aplikovat speciální substituce pro výpočet integrálů,

·         řešit aplikační příklady s využitím určitých integrálů.

 

5.1 Primitivní funkce a neurčitý integrál

Definice

Funkce  se nazývá primitivní funkce k funkci  na otevřeném intervalu , právě když na tomto intervalu platí

            ,                         

Totéž zapsáno pomocí diferenciálu

            ,                 

 

Věta

Jsou-li  primitivní funkce k funkci  na intervalu , pak se  liší jen o konstantu , takže

            ,                    

 

 

 

 

Definice        

Množinu všech primitivních funkcí k dané funkci ,  nazýváme neurčitým integrálem funkce . Je-li  primitivní funkce k funkci  na intervalu , zapisujeme

           

kde       je integrovaná funkce,

             je (libovolná) integrační konstanta,

             je integrační proměnná.

 

 

Věta: Postačující podmínka integrability

Jestliže je funkce  na intervalu  spojitá, tj. , pak k ní existuje na tomtéž intervalu  primitivní funkce .

 

 

Věta. O spojitosti neurčitého integrálu

Jestliže je funkce  na intervalu  spojitá, tj. , pak je  spojitá funkce proměnné .

 

 

 

 

Základní vzorce pro výpočet neurčitých integrálů

( jsou integrační konstanty)

 

                                                                    

                                                  

                                                 

                                                         

                                                             

                                                     

                                                    

                                                

                                                   

                                             

               

                  

 

 

 

 

Věta: O linearitě integrálu

Jestliže existují na intervalu  neurčité integrály funkcí ,  a konstanta , pak platí:

           

integrace člen po členu

           

vytýkání konstanty

 

 

 

 

Příklady

Vypočítejte

·        

·        

·        

·        

·